February 28th, 2017

Что такое абстрактная алгебра?

Совсем недавно беседовал со школьником про математику и я ему рассказал о том, что такое вообще абстрактная алгебра.
Есть разные алгебры, математики видов алгебр напридумывали много, также как и много видов логик.
Но у всех алгебр есть общие свойства.

Любая алгебра видимо это отображение/функция/преобразование некоторое, такое что
пространство большей размерности отображает в пространство меньшей размерности
обычная арифметика это
отображение пары чисел в одно число

потому как двум числам и операции сложения мы ставим в соответствие третье число
получается что операция сложение это отображение пары чисел в одно число

ну вот получается что любая алгебра (это типа система манипуляции некими объектами, которые называем числами)
это отображение более длинной строки (x1,x2,...xn)=>(x1,x2,...xk)
причем первая строка длиннее второй n>k

ну да в это определение войдут и комплексные числа, и кватернионы, и иные.

"И первую лекцию во втором полугодии Гельфанд начал с вопроса: «Что такое число?» И продолжал: «Разные люди ответили бы на этот вопрос вроде бы по-разному. Русский сказал бы: один, два, три… и написал 1, 2, 3… Француз — эн, де, труа… и написал бы то же самое. А японец сказал бы: ити, ни, сан… и нарисовал три сложные картинки. Но что такое число, все они понимали бы одинаково: попросту говоря число — это что-то такое, что можно складывать и умножать, соблюдая некоторые правила».

А дальше последнюю фразу он переводил на математический язык: вместо «Числа можно складывать» говорил: «Любым двум числам ставится в соответствие одно определённое число», а на доске появлялось: а + b= c и т.д. Записывались «правила» — известные всем свойства сложения и умножения. Далее, как положено, давались определения нуля и единицы: а + 0 = а и а 1 = а."

и вот встретилось мне очень хорошее изложение того же вопроса, приведу его тоже

«Collapse )