April 22nd, 2021

Логика и методология математики. Введение.

--
Математика занимается определением вводимых понятий, формулировкой утверждений и доказательством их истинности.

Приведём примеры математических понятий: целые положительные числа, cумма двух таких чисел, множество (или совокупность) объектов, понятие принадлежности объекта множеству, прямые линии, понятие параллельности таких линий.

Все эти понятия являются абстракциями реальности и мы понимаем их благодаря нашему опыту с ней.

В соответствии с этим опытом некоторые утверждения о математических понятиях для нас очевидны и не требуют доказательства, другие утверждения неочевидны и доказываются на основе тех утверждений, которые очевидны.

Некоторые из очевидных утверждений берут за основу математической теории и называют аксиомами.
Другие утверждения, очевидные и неочевидные, логически выводятся из аксиом и утверждений, доказанных ранее.
Система аксиом математической теории формально определяет начальные понятия теории.
Если это фундаментальные математические понятия, такие как в приведённом примере, то формальное определение этих понятий должно соответствовать нашему представлению о них.
Но у нас нет полного представления о фундаментальных математических понятиях, поскольку они связаны с бесконечностью.
Лучше всего мы понимаем целые положительные числа 1, 2, 3, ... .
Как мы увидим в дальнейшем, формальное определение этих чисел не исчерпывает наше представление о них.
Поэтому при необходимости к системе аксиом арифметики добавляют новые очевидные аксиомы.
Что же касается теории множеств или геометрии, то кроме очевидных аксиом принимают и неочевидные.
Обычно к существующей системе аксиом добавляют неочевидное утверждение, которое невозможно ни доказать, ни опровергнуть.
Бесполезно спрашивать истинно ли такое утверждение или нет: можно считать его истинным, а можно ложным.
В результате получаются разные теории с различными системами аксиом, которые формируют наше представление о начальных понятиях теории.
Системы аксиом используются для определения различных математических понятий.
Например, можно определить действительные числа системой аксиом.
Аксиомы в такой системе могут не быть очевидными - они формируют наше представление о начальных понятиях теории.
Продемонстрируем это на примере не математической, а физической теории.
Специальная теория относительности Эйнштейна основана на двух аксиомах, одной из которых является
неочевидная аксиома о постоянности скорости света в инерциальных системах отчёта.
Следствия из этой теории перевернули наши представления о пространстве и времени.

Начальные понятия теории принято называть "неопределяемыми", а остальные понятия - "определяемыми".
Дело в том, что обычные математические определения определяют понятия, которые не являются начальными.
Аксиоматическое определение начальных понятий теории это особый вид определения.
Определяемые понятия вводятся математическими определениями, которые определяют эти понятия через понятия, введённые ранее.
Любое математическое определение порождает аксиому, которая является утверждением, верным "по определению".
Аксиомы, порождаемые математическими определениями, называются аксиомами определения.
https://dxdy.ru/post955059.html#p955059
--

(no subject)

стр.11
При этом процесс вычисления с математической точки зрения представляет собой процесс исполнения так называемых правил переписывания, который можно интерпретировать как логический вывод искомого результата из аксиоматической теории, в роли которой выступает набор определений функций.

Гончаров С. С., Свириденко Д. И. Семантическое моделирование и искусственный интеллект.
https://journals.nsu.ru/upload/iblock/c50/Goncharov_SJP2018-4.pdf
https://journals.nsu.ru/sjp/archive/2018/18-4/sec1/2018-16-4-5-25/

стр.15
Отметим, что авторы концепции в то время использовали термин «семантическое программирование», поскольку выдвинутая концепция была ориентирована в основном на решение задач управления сложным системами. Однако впоследствии концепция постепенно стала приобретать черты модельного подхода и все больше и больше ориентироваться на решение задач моделирования сложных процессов, а также на задачи обработки больших и потоковых данных. По этой причине было предложено концепцию переименовать в семантическое моделирование.
Cуть этой концепции заключается в следующем. ...