Группа преобразований — это набор преобразований, включающий вместе с каждым преобразованием об ратное ему и вместе с каждыми двумя — результат их последовательного выполнения.
Вот и все аксиомы;
то, что обычно включают в аксиоматику при определении "абстрактных групп",— просто свойства групп преобразований
(например, в любую группу входит тождественное преобразование, оставляющее преобразуемый объект на месте: результат последовательного применения двух взаимно обратных преобразований).
Тщательно оберегаемый секрет алгебраистов состоит в том, что никаких других групп, кроме групп преобразований, на самом деле и не существует!
Трудность многих абстрактных математических понятий - столь же искусственно го происхождения, как понятия абстрактной группы.
Например, "абстрактные многообразия" сводятся к конкретным (много мерным поверхностям в евклидовом пространстве), "алгоритмы" — к конкретным машинам Тьюринга и т.д.
Давно уже пора ликвидировать ореол непознаваемости, созданный вокруг математики.
