deep-econom (deep_econom) wrote,
deep-econom
deep_econom

Category:

Теория категорий на пальцах и вокруг

у меня в этом тексте много некорректностей, но неважно, некорректности и ошибки устранимы и исправимы
пытайтесь уловить идеи

Теория категорий это математическая теория про систему кружочков (синонимы: кружочки, точки, объекты, элементы) и систему стрелочек между кружочками.

такая система помеченных точек и помеченных стрелочек это просто ориентированный граф


https://ru.wikipedia.org/wiki/Ориентированный_граф

стрелочки должны быть однонаправленными и если какие-то определенные аксиомы добавить, то математики говорят, что это теория категорий и начинают там всякие формулы выписывать и теории развивать, теоремы доказывать

вот получается, что теория категорий это про однонаправленные стрелочки (Начало, Конец), стрелочка с двумя заостренными концами не рассматривается


такие стрелочки соответствуют упорядоченным парам (a,b) или (Начало_стрелки, Конец_стрелки)
https://ru.wikipedia.org/wiki/Пара_(математика)

в школе координаты точки на плоскости так обозначали и вектора на плоскости как раз обозначали упорядоченными парами

дык вот, теория категорий как раз про такие совокупности упорядоченных пар или про стрелочки как на рисунке выше, это одно и тоже

а на языке теории категорий якобы выражается вся математика
по сути на языке упорядоченных пар

чтобы ввести упорядоченные пары, требуется ТОЛЬКО набор различий, набор неких символов или объектов, про которые мы можем сказать только то, что мы их умеем отличать друг от друга

ну и конечно умение отличать начало от конца, первое место пары от второго места

вспоминаем
Никола Бурбаки определяет математику как «науку об отношениях между объектами, о которых ничего не известно, кроме описывающих их некоторых свойств, — именно тех, которые в качестве аксиом положены в основание той или иной математической теории».[4]
https://ru.wikipedia.org/wiki/Основания_математики

вот наши стрелочки или упорядоченные пары это и есть отношения между объектами
"отношения" в математике это и есть стрелочки или пары
(строго говоря "отношения" это неупорядоченные пары, тройки,... и т.д., но это все можно одно к другому сводить)

вообще в теории категорий главное это композиция стрелок (по сути это умножение отображений)
еще можно сказать, это конструирование путей на ориентированном графе, конструирование структур из стрелок

математики сильно любят одни и те же вещи называть по разному и обозначать по разному
так исторически сложилось, и так удобнее, типа объект один, а описаний можно много придумать и на разных языках, в одних случаях удобнее так, в других по иному, разнообразие
это примерно как разнообразие просто языков или языков программирования

итак, чтобы вообще все сделать, нам требуются
- набор различий (достаточно 0 и 1)
- умение из различий конструировать упорядоченные пары
- из упорядоченных пар мы вообще можем сконструировать все что угодно, ВСЁ!

ну нам нужны еще какието аксиомы равенства, аксиомы эквивалентности
может быть это должны быть остенсивные определения, вычислимые определения, операционные определения, интерпретируемые определения

так мы свяжем всё через реальный физический вычислительный процесс определения различий и физическое конструирование пар всё, что угодно с чем угодно, все у нас будет в некотором смысле конструктивное, даже любые фантазии,
всё будет выразимо через физический вычислительный процесс, вся математика

--- вспоминаем это---
рабочая гипотеза для обдумывания
https://deep-econom.livejournal.com/593410.html
любые методы/способы абстрагирования основаны на комбинации двух базовых операциях абстрагирования тождественно/нетождественно - обозначим {=,≠}
нам нужна пара символов {0,1} и пара операций {=,≠}
-----

ps
---
Теория категорий на JavaScript. Часть 1. Категория множеств
https://habr.com/ru/company/cit/blog/313254/

а тут можно стрелочками поиграть (примеры к статье)
https://aresekb.github.io/categoricaljs/Set.html
---

=============================
Снова про теорию множеств
--
akuklev.livejournal.com/1263967.html


Стандартную теорию множеств можно аксиоматизировать очень разными способами. Аксиоматика Цермело-Френкеля — прагматичный вариант аксиоматики: прямолинейный, бесхитросный, операционный, комбинаторный. Никаких туманных философий, просто методы конструирования множеств: пустое множество, пара, индуктивное порождение, фильтрация и замена, множество всех подмножеств, объединение. Сверх того только аксиома, определяющая что такое равенство, схема индукции (= аксиома о фундированности), да аксиома выбора опцинально. Такой прагматичный подход удобен для анализа самой теории: можно доказать независимость аксиом друг от друга, а потом убирать аксиомы по одной или заменять более слабые, и смотреть стала ли теория слабее, и, если да, не эквивалентна какой-нибудь другой симпатичной теории.
....

Однако есть и другой подход к аксиоматизации — не прагматичный, а философский, когда имеющиеся методы формирования множеств выводятся из каких-то принципов “максимальной свободы, ещё не приводящей к парадоксам”. Тут есть два подхода:
— более распространённый «Limitation of Size» Кантора-фон Неймана-Гёделя (“всё то множество, что неравномощно универсуму”), симпатичный тем, что там из элегантного принципа следует аксиома выбора (в очень сильной форме) и все остальные способы конструирования множеств ZFC, кроме пары, множества всех подмножеств и индуктивного порождения, и
— более интересный «Bottom-up generation» Аккерманна, из которого следуют вообще все способы порождения множеств ZF, но не следует аксиома выбора.
================
Subscribe
  • Post a new comment

    Error

    Anonymous comments are disabled in this journal

    default userpic
  • 4 comments