Ершов Ю.Л., Палютин Е.А. Математическая логика. — 6-еизд.,испр. — М.: ФИЗМАТЛИТ, 2011. — 356 с. С.10, 11.
Основным итогом деятельности в области оснований математики можно считать становление математической логики как самостоятельной математической дисциплины, а принципиальным достижением математической логики — разработку современного аксиоматического метода, который может быть охарактеризован следующими тремя чертами:
1. Явная формулировка исходных положений (аксиом) той или иной теории.
2. Явная формулировка логических средств (правил вывода), которые допускаются для последовательного построения (развертывания) этой теории.
3. Использование искусственно построенных формальных языков для изложения всех положений (теорем) рассматриваемой теории…
Введение и использование подходящих обозначений было на протяжении всей истории математики весьма важной и продуктвной процедурой…
Основным объектом изучения в математической логике являются различные исчисления.
В понятие исчисления входят такие основные компоненты, как:
а) язык (формальный) исчисления;
б) аксиомы исчисления;
в) правила вывода…
Еще одним замечательным достижением математической логики является нахождение математического определения понятию алгоритма…
Изучение исчислений составляет синтаксическую часть математической логики…
Наряду с синтаксическим изучением исчислений проводится также семантическое изучение формальных языков математической логики.
Основным понятием семантики является понятие истинности для выражений (формул, секвенций и т. п.) формального языка.
Семантические понятия также получили точные математические определения, что дало возможность систематического и строгого изучения различных понятий истинности. Классическая семантика языка исчисления предикатов составила весьма богатый раздел математической логики — теорию моделей, которая активно развивается, а ее методы и результаты успешно применяются и в других областях математики (алгебре, анализе). Основателями теории моделей являются А.Тарский и А.И.Мальцев.
Исчисления позволяют формализовать многие разделы математики и других наук. Исчисление высказываний и упоминавшееся выше исчисление предикатов являются формализациями логики, древнейшей науки о законах правильного мышления. Создание и изучение этих формализаций явилось важным этапом в развитии логики как науки.